DERIVADAS

LIMITES

DERIVADAS

El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas.

Incrementos

El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x₀ a otro x = x₁ de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento Dx a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x₀ a x = x₀ + Dx), la función y = f (x) se verá incrementada en Dy = f (x₀ + Dx) - f (x₀) a partir del valor y = f (x₀). El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x₀ a x = x₀ + Dx.

Pendiente

Si h ¹ 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya pendiente es

Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a)) debería ser.

Definición

[La función f es derivable en a si

  existe.

En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.)
Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) como la recta que pasa por (a, f (a)) y tiene por pendiente f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está definida si f es derivable en a. (Spivak, 185)]
[Para una función dada f, la derivada f' se designa a menudo por

No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números 'df (x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz (generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz.
Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el límite de los cocientes (f (a+h)-f (a))/h, sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue designada por dx y la correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña' f (x+dx)-f (x) por df (x). Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática esta noción de la derivada. (Spivak, 190-1)]
[La derivada de y = f (x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos

(Ayres, 23)]
{En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente de dicha función en ese punto}

 

LIMITES

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Límite de una sucesión

La sucesión a_n = 2^{(4 − n)} para converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a .

Formalmente, se dice que la sucesión a_n tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L), y se denota como:

si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural n mayor que N converjan a L cuando n crezca sin cota.

Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta

Límite de una sucesión de conjuntos

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera A_n, se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales,

Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.

Límites en redes topológicas

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites.

Sea (X,T) un espacio topológico y una red en X. Se dice que es un punto límite de la red si la red está eventualmente en cada entorno de x, es decir, si cualquiera que sea el entorno V de x (esto es, cualquiera que sea el conjunto V de forma que exista un abierto G tal que ) existe un de tal forma que para cada con d₀∼d se cumple que .

Límites en teoría de categorías

En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos y límites inversos.

GRAFICAS LINEALES, CUADRADAS Y CUBICAS

GRAFICAS

FUNCIONES LINEALES

FUNCIONES LINEALES

Una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

Ahora bien una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

EJEMPLO:

f: R —> R  /  f(x) = a.x+b  donde a y b son números reales, es una función lineal.

(f de R en R tal que f en función de x es igual a: a.x+b)

g: g(x) = -3x+7

“Las funciones lineales son polinomios de primer grado.”   
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.
f(x) =  2x + 5 + 7x – 3
En el ejemplo anterior la expresión no está reducida ni ordenada en términos semejantes lo cual vamos a hacer para dejar una expresión más sencilla.
F(x)=9x+2
La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta está dada por la pendiente a y la ordenada en el origen  es   b.

http://www.x.edu.uy/lineal.htm

EJERCICIOS DE DESIGUALDAD LINEAL

EJERCICIOS DE DESIGUALDAD LINEAL

IGUALDAD Y DESIGUALDAD

IGUALDAD Y DESIGUALDAD

IGUALDAD

Una igualdad es una expresión matemática en la que aparecen uno más signos (=). Vamos a tratar dos tipos de igualdades:

*igualdades numéricas o aritméticas:

*igualdades algebraicas : . En estas intervienen números y letras relacionados entre si por medio de las operaciones algebraicas: suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación.

Una igualdad se llama identidad cuando todos los posibles valores de las variables son solución:

• 
• 

Si no todos los posibles valores de las variables son solución estamos ante una ecuación

• es una ecuación de primer grado con una incógnita
• es una ecuación de primer grado con dos incógnitas
• es una ecuación de segundo grado con una incógnita

http://bitacoraed.wordpress.com/2008/02/17/igualdades-matematicas/

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica

DESIGUALDAD

Una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera. Ejs: 4^x-2 (4 equivale a x-2) /esto nos llevaría ya a un prefijo ecuacional puro, eliminando las incomodidades de la escritura dialectal/

Hay otros símbolos especiales que muestran en qué sentido las cosas no son iguales.

a < b dice que a es menor que b
a > b dice que a es mayor que b
(estos dos son conocidos como desigualdades estrictas)

a ≤ b significa que a es menor o igual que b
a ≥ b significa que a es mayor o igual que b.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/desigualdad.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica

PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS NUMERO REALES

Propiedades de los números reales

  Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Conmutativa	Suma Multiplicación	a+b = b+a ab = ba	El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.	2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5

9 + 10= 19 ó 10 + 9= 19

6 (-2) = -12 ó (-2) 6= -12

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Asociativa	Suma Multiplicación	a+(b+c)=(a+b)+c  a(bc) = (ab)c	Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.	7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7

8 + (2+4) = 14 ó (8+2) +4 = 14

-5(2*9) =-90 ó (-5*2)9= -90

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Identidad	Suma  Multiplicación	a + 0 = a  a x 1= a	Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.	-11 + 0 = -11 17 x 1 = 17

-9 + 0= -9

15 x 1= 15

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Inversos	Suma Multiplicación	a + ( -a) = 0	La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.	15+ (-15) = 0

19 + (-19) = 0

½ (2) = 1

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Distributiva	Suma respecto a Multiplicación	a(b+c) = ab + ac	El factor se distribuye a cada sumando.	2(x+8) = 2(x) + 2(8)

Aplica la propiedad indicada:

5(x + 8) ; (conmutativa de suma)

 (3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación)

 (9 + 11) + 0 ; (identidad)

12(x + y) ; (distributiva)

9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación)

(x + y) + z ; (asociativa de suma) 

Otras propiedades

Propiedad de los opuestos	Que dice	Ejemplo
-( -a ) = a	El opuesto del opuesto es el mismo número.	- ( - 9 ) = 9
(-a)( b)= a (-b)= -(ab)	El producto de reales con signos diferentes es negativo.	( -15) (2) = 15( -2) = -(15 x 2) = -30
( -a)( -b) = ab	El producto de reales con signos iguales es positivo.	( -34) ( - 8) = 34 x 8
-1 ( a ) = - a	El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.	-1 ( 7.6 ) = - 7.6

 Propiedades del cero

Propiedad del cero	Que dice	Ejemplo
a x 0 = 0	Todo real multiplicado por 0 es 0.	16 x 0 = 0
a x b = 0 entonces a = 0 ó b = 0	Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0.	(a+b)(a-b) = 0 entonces a + b = 0 ó a – b = 0

   Recuerda

Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Resta	a – b = a + ( -b)	La resta es la suma del opuesto del sustraendo.	2 – 8 = 2 + (-8) = -6
División		La división es la multiplicación por el recíproco del divisor.

  VEASE

conhttp://bc.inter.edu/facultad/smejias/algebra/conferencias/props.htmtenido